Question

已知函數f(x)=2^x+a的反函數是y=f ^-1 (x).設P(x+a,y₁)、Q(x,y₂)、R(2+a,y₃)是y= f ^-1 (x)圖象上不同的三點.

(1)如果存在正實數x,使y₁、y₂、y₃成等差數列，試用x表示a;?

(2)在(1)的條件下，如果實數x是唯一的，試求a的取值范圍.?

Answer 1

解析:（1）易知函數f(x)的反函數?

f ^-1(x)=log₂(x-a)(x＞a).?

∵P、Q、R是f ^-1 (x)圖象上不同的三點,??

∴y₁=log₂x,y₂=log₂(x-a),y₃=1.?

又∵P、Q、R為不同的三點，?

∴a≠0且x≠2.?

又已知y₁,y₂,y₃成等差數列，即有y₁+y₃=2y₂,??

因此，1+log₂x=2log₂(x-a),?

即log₂2x=log₂(x-a).?

故x-a=2x，x＞0且x＞a.?

∴a=x-2x(x＞0且x≠2).①?

（2）等量關系①等價于?

方程②等價于x²-2(a+1)x+a²=0.?④?

Δ=［2(a+1)］²-4a²=8a+4.?

當a=-時，Δ=0.?

方程④僅有一個實數解x=且滿足③,??

∴a=-滿足①有唯一解.?

當a＞-時，Δ＞0,方程②有兩個相異實數解，即?

x₁=a+1+,x₂=a+1-,?

又x₁=a+1+＞a,?

∴x₁＞a滿足條件③.?

∴x₁是方程①的解.?

要使方程①有唯一解，則x₂不能是①的解，?

∴x₂=a+1-≤a, ≥1,即a≥0.?

∵a≠0,∴a＞0.?

綜合和，a的取值范圍是a=-或a＞0.