Question

（2012•湖北）如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是（　　）

• A．1-

  2

  π

• B．

  1

  2

  -

  1

  π

• C．

  2

  π

• D．

  1

  π

Answer 1

分析：設OA的中點是D，則∠CDO=90°，這樣就可以求出弧OC與弦OC圍成的弓形的面積，從而可求出兩個圓的弧OC圍成的陰影部分的面積，用扇形OAB的面積減去兩個半圓的面積，加上兩個弧OC圍成的面積的2倍就是陰影部分的面積，最后根據幾何概型的概率公式解之即可．

解答：解：設OA的中點是D，則∠CDO=90°，半徑為r
S_扇形OAB=

1

4

πr²
S_半圓OAC=

1

2

π(

r

2

)2=

1

8

πr²
S_△ODC=

1

2

×

r

2

×

r

2

=

1

8

r²
S_弧OC=

1

2

S_半圓OAC-S_△ODC=

1

16

πr²-

1

8

r²
兩個圓的弧OC圍成的陰影部分的面積為

1

8

πr²-

1

4

r²
圖中陰影部分的面積為

1

4

πr²-2×

1

8

πr²+2（

1

8

πr²-

1

4

r²）=

1

4

πr2-

1

2

r2
∴此點取自陰影部分的概率是

1 4 πr2- 1 2 r2

1 4 πr2

=1-

2

π

故選A．

點評：本題主要考查了幾何概型，解題的關鍵是求陰影部分的面積，不規則圖形的面積可以轉化為幾個不規則的圖形的面積的和或差的計算，屬于中檔題．