Question

設函數f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx(x∈R)的最大值為M，最小正周期為T．
（1）求M、T；
（2）求f（x）的單調遞減區間．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和兩角和的正弦公式將已知函數解析式化為y=Asin（ωx+φ）型函數，再利用三角函數的圖象和性質計算最值和周期即可；
（2）將內層函數置于外層函數的減區間上，解不等式即可得函數的單調遞減區間

解答：解：（1）f(x)=cos2x+

3

sin2x=2（sin

π

6

cos2x+cos

π

6

sin2x）=2sin(2x+

π

6

)
∴M=2，T=

2π

2

=π
（2）當2x+

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，即x∈[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈R)時，f（x）單調遞減．
∴f（x）的單調遞減區間為[

π

6

+kπ，

2π

3

+kπ](k∈R)．

點評：本題考查了二倍角公式和兩角和的正弦公式的運用，y=Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，復合函數單調區間的求法，屬中檔題