Question

設橢圓中心在坐標原點，A（2，0），B（0，1）是它的兩個頂點，直線y=kx（k＞0）與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點．
（Ⅰ）若，求k的值；
（Ⅱ）求四邊形AEBF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題可得橢圓的方程，設直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx，D（x，kx），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，進而求得x₂的表達式，進而根據求得x的表達式，由D在AB上知x+2kx=2，進而求得x的另一個表達式，兩個表達式相等求得k．
（Ⅱ）由題設可知|BO|和|AO|的值，設y₁=kx₁，y₂=kx₂，進而可表示出四邊形AEBF的面積進而根據基本不等式的性質求得最大值．
解答：解：（Ⅰ）依題設得橢圓的方程為，
直線AB，EF的方程分別為x+2y=2，y=kx（k＞0）．
如圖，設D（x，kx），E（x₁，kx₁），F（x₂，kx₂），其中x₁＜x₂，

且x₁，x₂滿足方程（1+4k²）x²=4，
故．①
由知x-x₁=6（x₂-x），得；
由D在AB上知x+2kx=2，得．
所以，
化簡得24k²-25k+6=0，
解得或．
（Ⅱ）由題設，|BO|=1，|AO|=2．
設y₁=kx₁，y₂=kx₂，由①得x₂＞0，y₂=-y₁＞0，
故四邊形AEBF的面積為S=S_△BEF+S_△AEF=x₂+2y₂
===，
當x₂=2y₂時，上式取等號．所以S的最大值為．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線的綜合問題是支撐圓錐曲線知識體系的重點內容，問題的解決具有入口寬、方法靈活多樣等，而不同的解題途徑其運算量繁簡差別很大．