Question

已知A={x|x²+2x-8≥0}，B={x|

9-3x

≤

2x+19

}，C={x|x²+2ax+2≤0}．
（1）若不等式bx²+10x+c≥0的解集為A∩B，求b、c的值；
（2）設全集U=R，若C⊆B∪C_UA，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出集合A中一元二次不等式的解集，然后把集合B中的不等式兩邊平方后得到一個一元一次不等式，求出解集，同時考慮被開方數大于等于0列出關于x的不等式組，求出不等式組的解集，然后求出兩解集的交集即可得到集合B，求出兩集合的交集即可，由求出的交集得到2和3為原不等式左邊等于0方程的兩個解，然后根據韋達定理即可求出b和c的值；
（2）先求出集合A在全集為R上的補集，然后與集合B求出并集，即可得到B∪C_UA，由集合C為B∪C_UA的子集，考慮當集合C為空集時，得到△小于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到此時a的取值范圍；當集合C不為空集時，令集合C中的不等式的左邊等于得到一個關于x的方程，求出方程的兩個解，由這兩個解在求出的B∪C_UA的區間內，列出關于a的不等式組，求出不等式組的解集，即可得到此時a的取值范圍，求出兩種情況a范圍的并集即可．

解答：解：由集合A中的不等式x²+2x-8≥0，
因式分解得：（x+4）（x-2）≥0，解得x≥2或x≤-4，所以集合A=（-∞，-4]∪[2，+∞）；
由集合B中的不等式

9-3x

≤

2x+19

，兩邊平方得：9-3x＜2x+19，且

9-3x≥0 2x+19≥0

，
解得-2＜x≤3，所以B=（-2，3]，
則A∩B=[2，3]，所以2和3為bx²+10x+c=0的兩個解，則-

10

b

=2+3=5，
解得b=-2，

c

b

=2×3，所以c=-12；

（2）由全集為R，集合A=（-∞，-4]∪[2，+∞），得到C_UA=（-4，2），
又B=（-2，3]，得到B∪C_UA=（-4，3]，
當C=∅時，得到△=4a²-8＜0，即4（a-

2

）（a+

2

）＜0，解得a∈(-

2

，

2

)；
C≠φ時，由題意可得：

4a2-8≥0① -2a- 4a2-8 2 ≥-4② -2a+ 4a2-8 2 ≤3③

，
由①解得a≥

2

或a≤-

2

；由②解得a≤

9

4

；由③解得a≥-

11

6

，
則a∈[-

11

6

，-

2

]∪[

2

，

9

4

]，
綜上，a∈[-

11

6

，

9

4

]．

點評：此題考查了一元二次不等式及其他不等式的解法，考查了交集、并集及補集的混合運算，是一道綜合題．