Question

若正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球O的體積為4

3

π，則球心0到正方體的一個面ABCD的距離為

 

．

Answer 1

考點：球內接多面體

專題：空間位置關系與距離

分析：根據球的體積公式算出球的半徑R=

3

，從而得到正方體的對角線長為2 

3

，可得正方體的棱長為2．再由球心O是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心，得到點O到正方體的一個面的距離等于正方體棱長的一半，從而算出答案．

解答： 解設球O的半徑為R，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，
∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁內接于球O，
∴正方體的對角線長等于球O的直徑，可得2R=

3

a．
又∵球O的體積為4

3

π，
∴V=

4π

3

•R³=4

3

π，解得R=

3

，
由此可得

3

a=2R=2

3

，解得a=2．
∵球O是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的外接球，
∴點O是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的中心，
可得點O到正方體的一個面的距離等于正方體棱長的一半，即d=

1

2

a=1．
因此，球心O到正方體的一個面ABCD的距離等于1．
故答案為：1．

點評：本題給出正方體的外接球的體積，求球心到正方體一個面的距離．著重考查了正方體的性質、球的體積公式與球內接多面體等知識，屬于基礎題．