Question

【題目】狄利克雷是19世紀(jì)德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，他定義了一個(gè)“奇怪的函數(shù)”，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的敘述正確的有：______.

①的定義域?yàn)?/span>，值域是 ②具有奇偶性，且是偶函數(shù)

③是周期函數(shù)，但它沒(méi)有最小正周期 ④對(duì)任意的，

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根據(jù)實(shí)數(shù)分為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)以及函數(shù)值域的定義,可知結(jié)論①正確;由偶函數(shù)定義可證明結(jié)論②正確;由函數(shù)周期性定義可判斷結(jié)論③正確;將代入，可判斷④正確.

因?yàn)?/span>中自變量的取值為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，所以的定義域?yàn)?/span>

當(dāng)自變量為有理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為1

當(dāng)自變量為無(wú)理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0，則值域?yàn)?/span>，故①正確；

，是偶函數(shù)，故②正確；

當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，，所以任何一個(gè)有理數(shù)都是的周期，即是周期函數(shù)，且沒(méi)有最小正周期，故③正確；

對(duì)任意的，等于1或0，不管是1還是0都為有理數(shù)，則，故④正確；

故答案為：①②③④