Question

在長方體ABCD-A₁B₁C_lD_l中，已知AB=4，BC=2，CC_l=5，E，F分別是CD，CC_l上的點，A₁F⊥平面BEF，
（I）求CE，CF的長；
（Ⅱ）若CF＞2，求二面角A₁-BE-F的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由題意畫出一圖形，因A₁F⊥平面BEF，進而得到A₁F⊥BE，在有線線垂直的到相似的三角形，得到CE與CE的長度；
（II）利用圖形利用二面角平面角的概念找到二面角的平面角，在三角形中求解出二面角的三角函數值．

解答：解：由題意做出圖形：
（I）連接AC，D₁F，
∵A₁F⊥平面BEF，∴A₁F⊥BE，
又BE⊥CF∴BE⊥平面A₁ACF，
∴BE⊥AC∴△BCE∽△ABE，
∴

CE

2

=

2

4

?CE=1
∵EF⊥A₁F，EF⊥A₁D₁，EF⊥平面A₁D₁F∴EF⊥D₁F∴

1

CF

=

5-CF

4

?CFCE=1或4
（II）∵CF＞2∴CF=4  設AC與BE交與點G，則AG⊥BE，FG⊥BE∴∠A₁GF就是A₁-BE-F的平面角AG=

8

5

，CG=

2

5

，A1G=

3 21

5

，FG=

2 21

5

∴cos∠A₁GF=

FG

A1G

=

2

3

∴二面角A₁-BE-F的余弦值為

2

3

．
故答案為：（I）CE=1，CF=1或4，（II）

2

3

．

點評：此題重點考查了利用線線垂直判斷線面垂直進而得到線線垂直，還考查了利用三角形的相似解出線段長度，此外在第二問中海考查了利用二面角的平面角的概念找出二面角的平面角，及在三角形中解出平面角的大小．