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已知函數(shù)f(x)滿足:f(
x
+1)=x+2
x

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若不等式f(x)≥ax對任意的a∈[-1,1]恒成立,求x的取值范圍.
分析:(1)由解析式設(shè)t=
x
+1
,解出x和范圍后代入函數(shù)解析式,然后把變量t換成x即可;也可以把等式的右邊配方出現(xiàn)
x
+1
和常數(shù)的形式,從而求出函數(shù)f(x)的解析式;
(2)根據(jù)(1)的x范圍分離出a,即a≤
x2-1
x
對任意的a∈[-1,1]恒成立,再把a(bǔ)當(dāng)成變量列出關(guān)于x的不等式求解即可.
解答:解:(1)設(shè)t=
x
+1
,則t≥1,且x=(t-1)2
∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,
∴函數(shù)的解析式是:f(x)=x2-1(x≥1),
另解:f(
x
+1)=(
x
+1)2-1

∴f(x)=x2-1(x≥1),
(2)由題意得,x2-1≥ax對任意的a∈[-1,1]恒成立,
又x≥1,∴a≤
x2-1
x
對任意的a∈[-1,1]恒成立,
1≤
x2-1
x
,即x2-x-1≥0,
解得x≥
1+
5
2
x≤
-1-
5
2
(舍去),
故x的取值范圍是x≥
1+
5
2
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法:配方法和換元法等方法,以及分離參數(shù)法處理恒成立問題,運(yùn)用換元法求解函數(shù)解析式時一定要注意變量的取值范圍,因為忽略這一點(diǎn)而導(dǎo)致求得的函數(shù)解析式出錯.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y),(x,y∈R)且f(1)=
1
2

(1)若n∈N*時,求f(n)的表達(dá)式;
(2)設(shè)bn=
nf(n+1)
f(n)
  (n∈N*)
,sn=b1+b2+…+bn,求
1
s1
+
1
s2
+…+
1
sn

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已知函數(shù)f(x) 滿足f(x+4)=x3+2,則f-1(1)等于(  )

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已知函數(shù)f(x)滿足f(x)+f'(0)-e-x=-1,函數(shù)g(x)=-λlnf(x)+sinx是區(qū)間[-1,1]上的減函數(shù).
(1)當(dāng)x≥0時,曲線y=f(x)在點(diǎn)M(t,f(t))的切線與x軸、y軸圍成的三角形面積為S(t),求S(t)的最大值;
(2)若g(x)<t2+λt+1在x∈[-1,1]時恒成立,求t的取值范圍;
(3)設(shè)函數(shù)h(x)=-lnf(x)-ln(x+m),常數(shù)m∈Z,且m>1,試判定函數(shù)h(x)在區(qū)間[e-m-m,e2m-m]內(nèi)的零點(diǎn)個數(shù),并作出證明.

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已知函數(shù)f(x)滿足:f(p+q)=f(p)f(q),f(1)=3,則
f2(1)+f(2)
f(1)
+
f2(2)+f(4)
f(3)
+
f2(3)+f(6)
f(5)
+
f2(4)+f(8)
f(7)
=
24.
24.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•珠海二模)已知函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)x≥1時,f(x)=f(x-1);當(dāng)x<1時,f(x)=2x,則f(log27)=(  )

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同步練習(xí)冊答案
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