Question

是否存在常數a、b、c使等式1•（n²-1²）+2（n²-2²）+…+n（n²-n²）=an⁴+bn²+c對一切正整數n成立？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：先取n=1，2，3探求a、b、c的值，然后用數學歸納法證明對一切n∈N*，a、b、c所確定的等式都成立即可．
解答：解：分別用n=1，2，3代入解方程組
下面用數學歸納法證明．
（1）當n=1時，由上可知等式成立；
（2）假設當n=k時，等式成立，
則當n=k+1時，左邊=1•[（k+1）²-1²]+2[（k+1）²-2²]+…+k[（k+1）²-k²]+（k+1）[（k+1）²-（k+1）²]
=1•（k²-1²）+2（k²-2²）++k（k²-k²）+1•（2k+1）+2（2k+1）+…+k（2k+1）
=k⁴+（-）k²+（2k+1）+2（2k+1）++k（2k+1）
=（k+1）⁴-（k+1）²．
∴當n=k+1時，等式成立．
由（1）（2）得等式對一切的n∈N*均成立．
點評：本題是探索性命題，它通過觀察歸納、猜想、證明這一完整的思路過程去探索和發現問題，并證明所得結論的正確性，這是非常重要的一種思維能力．