Question

定義在R上的奇函數f（x）滿足：當x＞0時，f（x）=2012^x+log₂₀₁₂x，則方程f（x）=0的實數根的個數是

1. A.
   1
2. B.
   2
3. C.
   3
4. D.
   4

Answer 1

C
分析：利用函數零點的判定定理及在區間（0，+∞）上的單調性即可判斷出此區間上的個數，進而根據奇函數的對稱性可判斷出在區間（-∞，0）上零點的個數，又f（0）=0，從而得出函數f（x）所有零點的個數即方程f（x）=0的個數．
解答：①∵f（x）定義在R上的奇函數，∴f（0）=0，0是方程f（x）=0的一個實數根；
②當x＞0時，f（x）=2012^x+log₂₀₁₂x，由y=2012^x及y=log₂₀₁₂x在（0，+∞）上單調遞增可知：函數f（x）在
（0，+∞）上單調遞增．由當x→0時，f（x）→-∞，而f（1）=2012+0＞0，故函數f（x）在區間（0，+∞）上有唯一零點．
③當x＜0時，根據奇函數的對稱性可知：函數f（x）在區間（-∞，0）上有唯一零點．
綜上可知：方程f（x）=0的實數根的個數是3．
故選C．
點評：熟練掌握函數零點的判定定理、函數的單調性、奇函數的對稱性是解題的關鍵．