Question

已知奇函數(shù)f（x）=2^x+a•2^-x，x∈（-1，1）
（1）求實數(shù)a的值；
（2）判斷f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性并進行證明；
（3）若函數(shù)f（x）滿足f（1-m）+f（1-2m）＜0，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（0）=0即可求得a的值．
（2）利用增函數(shù)的定義即可證明．
（3）利用奇函數(shù)的定義將f（1-m）+f（1-2m）＜0可化為f（1-m）＜-f（1-2m）=f（2m-1），再由（2）單調(diào)性可得-1＜1-m＜2m-1＜1，解出即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，1+a=0，∴a=-1．
（2）證明：由（1）可知，f（x）=2x-

1

2x

．
任取-1＜x₁＜x₂＜1，則

f(x1)-f(x2)=(2x1- 1 2x1 )-(2x2- 1 2x2 )=(2x1-2x2)-( 1 2x1 - 1 2x2 ) =(2x1-2x2)+( 2x1-2x2 2x1+x2 )=(2x1-2x2)(1+ 1 2x1+x2 ) ∵-1＜x1＜x2＜1，2x1+x2＞0 ∴f(x1)-f(x2)＜0，得f(x1)＜f(x2)

所以，f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．
（3）∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x）．
由已知f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)，
∴f（1-m）+f（1-2m）＜0可化為f（1-m）＜-f（1-2m）=f（2m-1），
又由（2）知f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，
∴-1＜1-m＜2m-1＜1，解得

2

3

＜m＜1．

點評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，深刻理解其定義和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．