Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點為F，直線l過定點A（1，0）且與拋物線交于P，Q兩點．
（1）若以弦PQ為直徑的圓恒過原點O，求p的值；
（2）在（1）的條件下，若，求動點R的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）先看斜率不存在時，把x=1代入拋物線方程求得y，弦PQ為直徑的圓恒過原點O，求得p；在看斜率存在時設出直線方程與拋物線方程聯立消去y，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據韋達定理求得x₁x₂和x₁+x₂的表達式進而求得y₁y₂，以弦PQ為直徑的圓恒過原點O，求得p，綜合答案可得．
（2）設動點R的坐標為（x，y）根據可知進而把各點的坐標代入整理得，進而分別看直線斜率存在和不存在兩種情況下x和y的關系．
解答：解：（1）①若直線l為x=1，將x=1代入y²=2px得y²=2p，
以弦PQ為直徑的圓恒過原點O，有2p=1，∴p=
②若直線l不是x=1，設直線方程為：y=kx-k，
將y=kx-k代入y²=2px得k²x²-（2p+2k²）x+k²=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則由韋達定理得：x₁+x₂=x₁x₂=1，
故y₁y₂=-2p
以弦PQ為直徑的圓恒過原點O，
∴x₁x₂+y₁y₂=0=1-2p，
∴p=
又此時△=4p²+8pk²＞0，
綜合①②得p=
（2）設動點R的坐標為（x，y）
∵
∴
∴
∴x=x₁+x₂-且y=y₁+y₂①直線l為x=1時，∴x=x₁+x₂-=0②當直線l不是x=1時，x=即得：x=2py²+，所以又因為點在y²=x-上，所以由①②得R點的軌跡方程為：y²=x-
點評：本題主要考查了拋物線的應用，直線與拋物線的關系．解題時要注意討論直線斜率不存在時的情況．