Question

【題目】已知函數

（1）若函數的圖像在公共點P處有相同的切線，求實數m的值和P的坐標；

（2）若函數的圖像有兩個不同的交點M、N，求實數m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過線段MN的中點作x軸的垂線分別與的圖像和的圖象交于S、T點，以S點為切點作以T為切點作的切線，是否存在實數m，使得？如果存在，求出m的值；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）不存在，理由見解析.

【解析】

（1）設兩圖象公共點P（x0，y0），P的坐標滿足f（x）和g（x）解析式得到關系式①，又在點P處有共同的切線得到關系式②，②和①聯立求解即可.（2）有兩個交點轉為有兩個解,利用變量分求解即可;（3）利用反證法即可得到證明.

解：（1）設函數

則有 ①

又在點P處有共同的切線,

②

②代入①，得 設

所以，函數最多只有1個零點，觀察得 此時，點P（1，0）.

（2）有兩個交點即方程有兩個解,

即在(0,+∞)上有兩個解.

設h(x)= ,∴, ∴x=1

易知x=1為極大值點,且h(x)>0,且以x軸為漸近線

∴0<m+1<1,∴

另解：根據（1）知，當時，兩條曲線切于點P（1，0），

此時，變化的y=g(x)圖象對稱軸為

而是固定不變的，如果繼續讓對稱軸向右移動，

即 解得 兩條曲線有兩個不同的交點，當時，開口向下，只有一個交點，顯然不合題意，所以，有

（3）假設存在這樣的m，不妨設 以S為切線的切線l1的斜率,以T為切點的切線l2的斜率如果存在m，使得

即 ③

而且有如果將③的兩邊同乘以得

,即

，④

即，設，則，

令，則

⑤

∴④與⑤矛盾，所以，不存在實數