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過橢圓左焦點F，傾斜角為

的直線交橢圓于A，B兩點，若|FA|=2|FB|，則橢圓的離心率為______．

設準線與x軸交點為M，過A、B作準線的垂線，垂足分別為D、C，過B作BH⊥AD，垂足為H，交x軸于E．
設|AB|=3t，因為|FA|=2|FB|，則|BF|=t，|AF|=2t，
因為AB傾斜角為60°，所以∠ABH=30°，則|AH|=

|AB|=

t，
根據橢圓第二定義，可得|AH|=|AD|-|BC|=

，
∴

∴e=

，
故答案為：

．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（13分）已知F₁、F₂是橢圓c₁：

(a>b>0)的左、右焦點，A為右頂點，P為橢圓c₁上任意一點，且

最大值的取值范圍是[c²,3c²]，c²=a²-b².（1）求橢圓c₁離心率e的取值范圍；（2）設雙曲線c₂以橢圓c₁焦點為頂點，頂點為焦點，B是雙曲線c₂在第一象限上任意一點，當橢圓c₁離心率e取得最小值時，問是否存在正常數λ使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C的頂點在坐標原點，以坐標軸為對稱軸，且準線方程為x=-1．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）過拋物線C焦點的直線l交拋物線于A，B兩點，如果要同時滿足：①|AB|≤8；②直線l與橢圓3x²+2y²=2有公共點，試確定直線l傾斜角的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C₁：

=1(a＞b＞0)的離心率為

，并且直線y=x+b是拋物線C₂：y²=4x的一條切線．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程．
（Ⅱ）過點S(0，-

)的動直線l交橢圓C₁于A、B兩點，試問：在直角坐標平面上是否存在一個定點T，使得以AB為直徑的圓恒過定點T？若存在求出T的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：

=1(a＞b＞0)的焦距為2，且過點(

，

)．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若點A，B分別是橢圓E的左、右頂點，直線l經過點B且垂直于x軸，點P是橢圓上異于A，B的任意一點，直線AP交l于點M．
（ⅰ）設直線OM的斜率為k₁，直線BP的斜率為k₂，求證：k₁k₂為定值；
（ⅱ）設過點M垂直于PB的直線為m．求證：直線m過定點，并求出定點的坐標．