Question

設數列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=3a_n-2，n=1，2，3，…．
（I）求證：數列{a_n-1}是等比數列；
（Ⅱ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）由a_n+1=3a_n-2，得a_n+1-1=3 （a_n-1），結合a₁=2及等比數列的定義可判斷{a_n-1}是等比數列；
（Ⅱ）由（I）{a_n-1}是等比數列及等比數列的通項公式可求得a_n-1，進而可求得a_n；
（Ⅲ）利用分組求和法可求得{a_n}的前n項和S_n．

解答：解：（I）證明：∵a_n+1=3a_n-2，且a₁=2，
∴a_n+1-1=3 （a_n-1），且a_n≠1，
∴

an+1-1

an-1

=3，∴數列{a_n-1}是公比為3的等比數列．
（II）∵數列{a_n-1}是等比數列，
∴a_n-1=（a₁-1）•q^n-1=（2-1）•3^n-1=3^n-1，
∴a_n=3^n-1+1．
∴{a_n}的通項公式a_n=3^n-1+1．
（III）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=（3⁰+1）+（3+1）+（3²+1）+…+（3^n-1+1）
=（3⁰+3+3²+…+3^n-1 ）+n
=

1•(1-3n)

1-3

+n=

1

2

×3ⁿ+n-

1

2

．

點評：本題考查數列遞推式、等比數列的定義及前n項和，考查學生解決問題的能力．