Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是邊長為2的正三角形，側棱長為3，且側棱AA₁⊥面ABC，點D是BC的中點．
（1）求證：AD⊥C₁D；
（2）求證：A₁B∥平面ADC₁．

Answer 1

分析：（1）證明C₁C⊥AD，AD⊥BC，利用BC∩C₁C=C，推出AD⊥平面BCC₁B₁，然后證明AD⊥C₁D．
（2）連接A₁C交AC₁于點E，再連接DE，說明E為A₁C的中點，證明ED∥A₁B，證明A₁B∥平面ADC₁．

解答：解：（1）因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，所以C₁C⊥平面ABC，
又AD?平面ABC，所以C₁C⊥AD，…（2分）
又點D是棱BC的中點，且△ABC為正三角形，所以AD⊥BC，
因為BC∩C₁C=C，所以AD⊥平面BCC₁B₁，…（4分）
又因為DC₁?平面BCC₁B₁，所以AD⊥C₁D．…（6分）
（2）連接A₁C交AC₁于點E，再連接DE．…（7分）
因為四邊形A₁ACC₁為矩形，
所以E為A₁C的中點，…（8分）
又因為D為BC的中點，
所以ED∥A₁B．…（10分）
又A₁B?平面ADC₁，ED?平面ADC₁，
所以A₁B∥平面ADC₁．…（12分）

點評：本題考查直線與直線垂直，直線與平面平行，考查空間想象能力，計算能力．