Question

已知f（x）=ln（1+e^x）-mx（x∈R）．
（Ⅰ）已知對于給定區間（a，b），存在x₀∈（a，b）使得成立，求證：x₀唯一；
（Ⅱ）x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，當m=1時，比較f（）和大小，并說明理由；
（Ⅲ）設A、B、C是函數f（x）=ln（1+e^x）-mx（x∈R，m≥1）圖象上三個不同的點，求證：△ABC是鈍角三角形．

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：假設存在x'₀，x₀∈（a，b），且x'₀≠x₀，使得，，
即f'（x₀）=f'（x'₀）．（1分）
∵，∴上的單調增函數（或者通過復合函數單調性說明f'（x）的單調性）．（3分）
∴x₀=x'₀，這與x'₀≠x₀矛盾，即x₀是唯一的．（4分）
（Ⅱ），原因如下：
設，則．
由（Ⅰ）知f'（x）單調增．
所以當x＞x₂即時，有
所以x＞x₂時，F（x）單調減．（5分）
當x＜x₂即時，有
所以x＜x₂時，F（x）單調增．（6分）
所以F（x）＜F（x₂）=0，所以．（8分）
（Ⅲ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，因為m≥1
∵，∴f（x）是x∈R上的單調減函數．（9分）
∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．∵，
∴．（10分）
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，
∴，∴cosB＜0，∠B為鈍角．故△ABC為鈍角三角形．（12分）
分析：（Ⅰ）假設存在x'₀，x₀∈（a，b），且x'₀≠x₀，使得f'（x₀）=f'（x'₀），由此導出上的單調增函數，從而得到x₀是唯一的．
（Ⅱ），設，則．由f'（x）單調增．知x＞x₂時，F（x）單調減．x＜x₂時，F（x）單調增，所以．
（Ⅲ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，因為m≥1，由，知f（x）是x∈R上的單調減函數由此入手能推導出△ABC為鈍角三角形．
點評：本題考查利用導數判斷函數的單調性的綜合運用，具有一定的難度，解題時要認真審題，注意題設中的隱含條件，合理地進行等價轉換．