【題目】設函數
，
，其中
，
為正實數.
（1）若
的圖象總在函數
的圖象的下方，求實數的取值范圍；
（2）設
，證明：對任意，都有
.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
(1)據題意可得
在區間
上恒成立，利用導數討論函數的單調性，從而求出滿足不等式的
的取值范圍；(2)不等式整理為
，由(1)可知當
時，
，利用導數判斷函數
的單調性從而證明
在區間上成立，從而證明對任意
，都有
.
（1）解：因為函數
的圖象恒在
的圖象的下方，
所以
在區間上恒成立.
設
，其中，
所以
，其中
，
.
①當
，即
時，
，
所以函數
在上單調遞增，
，
故
成立，滿足題意.
②當
，即
時，設
，
則
圖象的對稱軸
，
，
，
所以在上存在唯一實根，設為
，則
，
，
，
所以在
上單調遞減，此時
，不合題意.
綜上可得，實數的取值范圍是.
（2）證明：由題意得
，
因為當時，
，
，
所以
.
令
，則
，
所以
在上單調遞增，
，即
，
所以
，從而
.
由（1）知當時，
在上恒成立，整理得.
令
，則要證，只需證
.
因為
，所以
在上單調遞增，
所以
，即在上恒成立.
綜上可得，對任意，都有成立.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
、
,橢圓的離心率為
,過橢圓
的左焦點,且斜率為
的直線
,與以右焦點為圓心,半徑為
的圓
相切.
（1）求橢圓的標準方程;
（2）線段
是橢圓過右焦點的弦,且
,求
的面積的最大值以及取最大值時實數
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，平面ABCD⊥平面CDEF，且四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，
，M是線段DE上的點，滿足DM=2ME．
(1)證明：BE//平面MAC；
(2)求直線BF與平面MAC所成角的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐E﹣ABCD的側棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側棱BF都與底面ABCD垂直，
，
//
，
.
（1）證明：
//平面BCE.
（2）設平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，曲線
的參數方程為
（
為參數）.以原點
為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線N的極坐標方程為
（其中
為常數）.
（1）若曲線N與曲線M只有一個公共點，求的取值范圍；
（2）當
時，求曲線M上的點與曲線N上的點之間的最小距離.
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