Question

數列的前n項和S_n滿足：S_n=2a_n-3n(nÏN₊)．

（1）求數列的通項公式a_n；

（2）數列中是否存在三項，它們可以構成等差數列？若存在，請求出一組適合條件的項；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）當nÎN+時有：Sn=2an-3n， ∴ Sn+1=2an+1-3(n+1)，兩式相減得：an+1=2an+1-2an-3 ∴ an+1=2an+3 ∴ an+1+3=2(an+3)又a1=s1=2a1-3， ∴ a1=3，a1+3=6¹0 ∴ 數列的首項6，公比為2的等比數列．從而an+3=6×2n-1， ∴ an=3×2n-3 另解：歸納猜想再用數學歸納法證． （2）假設數列中存在三項ar，as，at(r<s<t)，它們可以構成等差數列， ∴ ar<as<at，∴ 只能是ar+at=2as， ∴ （3×2r-3）+（3×2t-3）=2（3×2s-3），即2r+2t=2s+1 ∴ 1+2t-r=2s+1-r．（*） ∵ r<s<t，r，s，t均為正整數， ∴ （*）式左邊為奇數，右邊為偶數，不可能成立． 因此數列中不存在可以構成等差數列的三項．