Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=，B₁B=BC=1，
（1）求D D₁與平面ABD₁所成角的大小；
（2）求面B D₁C與面A D₁D所成二面角的大小；
（3）求AD的中點M到平面D₁B C的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接A₁D交AD₁于O，由ABCD-A₁B₁C₁D₁為長方體，B₁B=BC，知四邊形A₁ADD₁為正方形，故A₁D⊥AD₁，由AB⊥面A₁ADD₁，知AB⊥A₁D，A₁D⊥面ABD₁，由此能求出DD₁與平面ABD₁所成角的大小．
（2）連接A₁B，由A₁A⊥面D₁DCC₁，知A₁A⊥D₁D、A₁A⊥DC，所以∠DD₁C是面B D₁C與面A D₁D所成二面角的平面角，由此能求出面BD₁C與面A D₁D所成的二面角的大小．
（3）由AD∥BC，知AD∥面BCD₁，所以AD的中點M到平面D₁B C的距離即為A點到平面D₁B C的距離，由此能求出AD的中點M到平面D₁B C的距離．
解答：解：（1）連接A₁D交AD₁于O，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁為長方體，而B₁B=BC，
則四邊形A₁ADD₁為正方形，∴A₁D⊥AD₁，
又∵AB⊥面A₁ADD₁，A₁D?面A₁ADD₁，
∴AB⊥A₁D，∴A₁D⊥面ABD₁，
∴∠DD₁O是D D₁與平面ABD₁所成角，（2分）
∵四邊形A₁ADD₁為正方形，∴∠DD₁O=45°，
則D D₁與平面ABD₁所成角為45°．（4分）
（2）連接A₁B，∵A₁A⊥面D₁DCC₁，D₁D、DC?面D₁DCC₁，
∴A₁A⊥D₁D、A₁A⊥DC，
∴∠DD₁C是面B D₁C與面A D₁D所成二面角的平面角，（6分）
在直角三角形D₁DC中，
∵DC=AB=，D₁D=B₁B=1，∴∠DD₁C=60°，
即面BD₁C與面AD₁D所成的二面角為60°．     （8分）
（3）∵AD∥BC，
∴AD∥面BCD₁，
則AD的中點M到平面D₁B C的距離即為A點到平面D₁B C的距離，
∵BC⊥面A₁ABB₁，
∴面BCD₁A₁⊥面A₁ABB₁，
過A作AH⊥A₁B，垂足為H，
由AH⊥面BCD₁A₁可得，AH即為所求（10分）
在直角三角形A₁AB中，∵AB=，A₁A=B₁B=1，
∴A₁B=2，，
∴AD的中點M到平面D₁BC的距離為． （12分）
點評：本題考查求DD₁與平面ABD₁所成角的大小，求面BD₁C與面AD₁D所成二面角的大小，求AD的中點M到平面D₁B C的距離．解題時要認真審題，注意合理地把空間問題等價轉化為平面問題．