Question

如圖，拋物線y=x²上有一點(diǎn)A（a，a²），a∈（0，1），過點(diǎn)A引拋物線的切線l分別交x軸與直線x=1于B，C兩點(diǎn)，直線x=1交x軸于點(diǎn)D．
（1）求切線l的方程；
（2）求圖中陰影部分的面積S（a），并求a為何值時(shí)，S（a）有最小值？

Answer 1

（1）∵y=x²，∴y'=2x，
∴切線l的方程是y-a²=2a（x-a），即2ax-y-a²=0；
（2）由2ax-y-a²=0，令y=0，解得x=

a

2

，∴B(

a

2

，0)；
令x=1，解得y=2a-a²；
∴|BD|=1-

a

2

，|CD|=2a-a²，
∴S△BCD=

1

2

|BD||CD|=

1

4

(a3-4a2+4a)．
∴S(a)=

∫

10

x2dx-S△BCD=

1

3

-

1

4

(a3-4a2+4a)．
∴S′(a)=-

1

4

(3a2-8a+4)=-

1

4

(a-2)(3a-2)．
令S'（a）=0，∵a∈（0，1），∴a=

2

3

．
當(dāng)a∈(0，

2

3

)時(shí)，S'（a）＜0；
當(dāng)a∈(

2

3

，1)時(shí)，S'（a）＞0．
∴a=

2

3

時(shí)，S（a）有最小值．