Question

若某一等差數列的首項為

C

11-2n 5n

-

A	2n-2 11-3n

，公差為(

5

2x

-

2

5

3	x2

)m展開式中的常數項，其中m是77⁷⁷-15除以19的余數，則此數列前多少項的和最大？并求出這個最大值．

Answer 1

分析：根據題意，由排列、組合數的性質，可得不等式

11-2n≤5n 2n-2≤11-3n

，解可得n的范圍，結合n∈N，可得n的值，進而可得首項a₁，對77⁷⁷-15變形，結合二項式定理可得m的值，從而可得數列的公差，即可得數列的通項公式，根據等差數列的性質，設其前k項之和最大，則

104-4k≥0 104-4(k+1)＜0

，解可得k=25或k=26，可得答案．

解答：解：根據題意，等差數列的首項為C_5n^11-2n-A_11-3n^2n-2，
則有

11-2n≤5n 2n-2≤11-3n

，解可得

11

7

≤n≤

13

5

，
又由n∈N，則n=2，
從而有a₁=100，
又由77⁷⁷-15=（76+1）⁷⁷-15=C₇₇⁰76⁷⁷+C₇₇¹76⁷⁶+C₇₇²76⁷⁵+…+C₇₇⁷⁶76+1-15，
可得m=5，則數列的公差d=-4，
從而等差數列的通項公式是a_n=104-4n，
設其前k項之和最大，則

104-4k≥0 104-4(k+1)＜0

，
解得k=25或k=26，
故此數列的前25項之和與前26項之和相等且最大，S₂₅=S₂₆=1300．

點評：本題考查二項式定理的應用，排列組合數的性質和等差數列的性質，關鍵由排列、組合數的性質得出首項，根據二項式定理得到m的值，從而得到公差．