Question

（2012•山東）定義在R上的函數f（x）滿足f（x+6）=f（x），當-3≤x＜-1時，f（x）=-（x+2）²，當-1≤x＜3時，f（x）=x．則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（　　）

A．335

B．338

C．1678

D．2012

Answer 1

分析：由f（x+6）=f（x）可知，f（x）是以6為周期的函數，可根據題目信息分別求得f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再利用周期性即可得答案．

解答：解：∵f（x+6）=f（x），
∴f（x）是以6為周期的函數，
又當-1≤x＜3時，f（x）=x，
∴f（1）+f（2）=1+2=3，f（-1）=-1=f（5），f（0）=0=f（6）；
當-3≤x＜-1時，f（x）=-（x+2）²，
∴f（3）=f（-3）=-（-3+2）²=-1，
f（4）=f（-2）=-（-2+2）²=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1+2-1+0+（-1）+0=1，
∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）
=[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2010）]+f（2011）+f（2012）
=335×1+f（1）+f（2）
=338．
故選B．

點評：本題考查函數的周期，由題意，求得f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）=是關鍵，考查轉化與運算能力，屬于中檔題．