Question

5．如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥AB，AB=2AA₁，M是AB的中點，△A₁MC₁是等腰三角形，D為CC₁的中點，E為BC上一點．
（1）若DE∥平面A₁MC₁，求$\frac{CE}{EB}$；
（2）求證：平面B₁MC₁⊥平面A₁MC₁．

Answer 1

分析 （1）取BC中點為N，連結MN，C₁N，則MN∥AC∥A₁C₁，從而DE∥C₁N，由此能求出結果．
（2）連結B₁M，推導出AA₁⊥AB，B₁M⊥A₁M，A₁C₁⊥B₁M，由此能證明平面B₁MC₁⊥平面A₁MC₁．

解答 解：（1）取BC中點為N，連結MN，C₁N，
∵M，N分別為AB，CB中點∴MN∥AC∥A₁C₁，
∴A₁，M，N，C₁四點共面，
且平面BCC₁B₁∩平面A₁MNC₁=C₁N，
又DE?平面BCC₁B₁，且DE∥平面A₁MC₁，
∴DE∥C₁N，
∵D為CC₁的中點，∴E是CN的中點，∴$\frac{CE}{EB}=\frac{1}{3}$．    …（6分）
證明：（2）連結B₁M，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁為直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AB，即四邊形ABB₁A₁為矩形，且AB=2AA₁，
∵M是AB的中點，∴B₁M⊥A₁M，
又A₁C₁⊥平面ABB₁A₁，∴A₁C₁⊥B₁M，
從而B₁M⊥平面A₁MC₁，
∵B₁M?平面B₁MC₁，∴平面B₁MC₁⊥平面A₁MC₁．…（12分）

點評 本題考查兩線段比值的求法，考查面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．