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如圖3-2,設有一個等邊三角形網格，其中每個最小等邊三角形的邊長都是43 cm，現用直徑等于2 cm的硬幣投擲到此網格上，求硬幣落下后與格線沒有公共點的概率.

圖3-2

解:記A＝“硬幣落下后與格線沒有公共點”.

在等邊三角形內作小等邊三角形，使其三邊與原等邊三角形三邊距離都為1，如圖所示，則小等邊三角形的邊長為4－2=2，此時硬幣落下后與格線沒有公共點等價于硬幣的圓心落在小三角形內.由幾何概型公式,得

圖3-4

P(A)=.

思路分析:硬幣落下后與格線沒有公共點等價于硬幣中心與格線的距離都大于半徑1，在等邊三角形內作三條與正三角形三邊距離為1的直線，構成小等邊三角形，當硬幣中心在小等邊三角形內時，硬幣與三邊都沒有公共點，所以硬幣與格線沒有公共點就轉化為硬幣中心落在小等邊三角形內的問題.

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（1）寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）記b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj(i，j∈N*)；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的積b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和）
（3）證明：

+…+

Sn+1

＜

•

(n∈N*)．

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圖3-2

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