Question

一個房間有4扇同樣的窗子，其中只有一扇窗子是打開的．房間里一只燕子只能從開著的窗子飛出去，燕子在房子里一次又一次地向著窗戶飛去，試圖飛出房間．假定燕子飛向各扇窗子是等可能的．
（1）假定燕子是沒有記憶的，求它恰好在第2次試飛時出了房間的概率；
（2）假定這只燕子是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次，若這只燕子恰好在第η次試飛時飛出了房間，求試飛次數η的分布列及其數學期望．

Answer 1

分析：（1）由題設條件知，燕子每次試飛出了房間的概率，由此可求燕子恰好在第2次試飛時出了房間的概率；
（2）η的可能取值為1，2，3，4，求出相應的概率，即可得到試飛次數η的分布列與數學期望．

解答：解：（1）由題設條件知，燕子每次試飛出了房間的概率為

1

4

∴燕子恰好在第2次試飛時出了房間的概率為P=(1-

1

4

)×

1

4

=

3

16

（2）由題設條件知P（η=1）=

1

4

，P（η=2）=

3

4

×

1

3

=

1

4

，P（η=3）=

3

4

×

2

3

×

1

2

=

1

4

，P（η=4）=

3

4

×

2

3

×

1

2

×1=

1

4

∴試飛次數η的分布列如下：

η	1	2	3	4
P	1 4	1 4	1 4	1 4

∴試飛次數η的數學期望為E（η）=1×

1

4

+2×

1

4

+3×

1

4

+4×

1

4

=

5

2

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，確定變量的取值，求出概率是關鍵．