Question

已知函數f（x）=2cosxsin（x+）-sin²x+sinxcosx
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的單調增區間；
（3）當時，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：函數f（x）=2cosxsin（x+）-sin²x+sinxcosx，利用和角公式，以及二倍角公式，化簡函數為一個角的一個三角函數的形式，
（1）利用周期公式直接求出f（x）的最小正周期；
（2）利用y=sinx的單調增區間，求出f（x）的單調增區間即可；
（3）當時，求出2x+的范圍，然后求出2sin（2x+）的范圍就是 求f（x）的值域．
解答：解：f（x）=2cosxsin（x+）-（sinx）²+sinxcosx=2cosx（sin+cos）-+sin2x
=sinxcosx+-++
=sin2x+cos2x
=2sin（2x+）
（1）因為T===π，所以函數的最小正周期是π．
（2）y=sinx的單調增區間是[2kπ-，2kπ+]k∈Z，則函數f（x）=2cosxsin（x+）-sin²x+sinxcosx
即：2sin（2x+）的單增區間：2x+∈[2kπ-，2kπ+]
解得x∈[kπ-，kπ+]（k∈Z）
（3），則2x+∈[，]，所以2sin（2x+）∈[，1]
所以函數的值域為：[，1]．
點評：本題考查三角函數的周期性及其求法，正弦函數的定義域和值域，正弦函數的單調性，考查計算能力，邏輯思維能力，是中檔題．