Question

【題目】如圖，在三棱柱中，，側面為矩形，．將繞翻折至，使在平面內．

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）．

【解析】

（1）根據題意證明，，可以得到平面平面，再由平面，即可證明平面；

（2）易知，直線與平面所成角即直線與平面所成角，建立空間直角坐標系，求出和平面的一個法向量，即可求解．

（1）如圖，連接，記，

因為，所以四邊形為菱形，

又，所以，

則，，

由，，知，

故，故，又平面，

平面，所以∥平面，同理平面，且

，∴平面平面．

又平面，∴平面．

（2）連接，則，易知，

∴直線與平面所成角即直線與平面所成角．

以為坐標原點，所在的直線為軸，所在的直線為軸，

過且與平面垂直的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，連接，設，

由題意知，，故，

則，．

設平面法向量為，

則，即，取，

∴（為直線與平面所成的角），

即直線與平面所成角的正弦值為．