Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=

3

．
（1）設(shè)棱SA的中點為M，求異面直線DM與SB所成角的大小；
（2）求面ASD與面BSC所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）M(

1

2

，0，

1

2

)，

DM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

SB

=(1，1，-1)，設(shè)

DM

與

SB

的夾角為α，異面直線DM與SB所成角為θ，cosθ=|cosα|=0，由此能求出異面直線DM與SB所成角的大小．
（2）平面ASD的一個法向量

n1

=(0，1，0)，設(shè)平面BSC的一個法向量

n2

=(x，y，z)，由

n2

⊥

BC

，

n2

⊥

SB

，知

n2

=(0，1，1)，設(shè)

n1

與

n2

的夾角為β，則cosβ=

2

2

，由此能求出面ASD與面BSC所成二面角的大小．

解答：解：（1）以D為原點，以DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建立空間直角坐標系，
∵四棱錐S-ABCD的底面是邊長為1的正方形，SD⊥底面ABCD，SB=

3

，
∴SD=

3-2

=1，
∴S=（0，0，1），D（0，0，0），B（1，1，0），A（1，0，0），M(

1

2

，0，

1

2

)，

DM

=(

1

2

，0，

1

2

)，

SB

=(1，1，-1)，
設(shè)

DM

與

SB

的夾角為α，
異面直線DM與SB所成角為θ，
cosθ=|cosα|=0，
∴θ=

π

2

，
∴異面直線DM與SB所成角的大小為

π

2

．
（2）平面ASD的一個法向量

n1

=(0，1，0)，
設(shè)平面BSC的一個法向量

n2

=(x，y，z)，
∵

n2

⊥

BC

，

n2

⊥

SB

，
∴

-x=0 x+y-z=0

，
令y=1，則

n2

=(0，1，1)，
設(shè)

n1

與

n2

的夾角為β，則cosβ=

2

2

，
由圖形得，面ASD與面BSC所成二面角的大小為

π

4

．

點評：本題考查異面直線所成角的大小的求解和二面角的求法，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．