Question

如圖，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，AA₁=

6

，點D、E分別是△ABC邊AB、AC的中點，求：
（1）該直三棱柱的側面積；
（2）（理）異面直線DB₁與EA₁所成的角的大小（用反三角函數值表示）
（3）（文）異面直線DE與A₁B₁所成的角的大�。�

Answer 1

分析：（1）根據題意求出AC、AB的長，然后利用直三棱柱的側面展開圖是矩形，并且該矩形的長為△ABC的周長，寬為三棱柱的高，即可求得結果；
（2）（理）取B₁C₁的中點為F，連接EF，A₁F，根據題意可得：四邊形B1DEF是平行四邊形，即可得到B₁D∥EF，可得∠FEA₁與異面直線DB₁與EA₁所成的角相等，再利用解三角形的有關求出異面直線的夾角．
（3）（文）根據幾何體的結構特征可得：AB∥A₁B₁，進而得到∠ADE就是異面直線DE與A₁B₁所成的角，再根據題意異面直線的夾角即可．

解答：解：（1）∵在三角形ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=1，
∴AB=2，AC=

3

，
∴S_側=（AB+AC+BC）AA₁=(3+

3

)

6

，
所以直三棱柱的側面積(3+

3

)

6

．
（2）（理）取B₁C₁的中點為F，連接EF，A₁F，

所以B₁F∥BC，并且B₁F=

1

2

BC，
因為點D、E分別是△ABC邊AB、AC的中點，
所以DE∥BC，并且DE=

1

2

BC，
所以B₁F∥DE，并且B₁F=DE，
所以四邊形B1DEF是平行四邊形，
所以B₁D∥EF，
所以∠FEA₁與異面直線DB₁與EA₁所成的角相等．
取BC的中點為H，連接FH，EH，
因為BC=1，AA₁=

6

，點D、E分別是△ABC邊AB、AC的中點，
所以EA₁=

3 3

2

，A₁F=

13

2

，FE=

7

，
所以在△FEA₁中有余弦定理可得：cos∠FEA₁=

EF2+EA12-A1F2

2•EF•EA1

=

21

6

，
所以異面直線DB₁與EA₁所成的角的大小為arccos

21

6

．
（3）（文）∵AB∥A₁B₁，
∴∠ADE就是異面直線DE與A₁B₁所成的角
∵點D、E分別是△ABC邊AB、AC的中點，∠ABC=60°，
∴∠ADE=60°，
∴異面直線DE與A₁B₁所成的角為60°．

點評：本題考查柱體的側面積，一般利用側面展開圖求解，本題重點考查了異面直線所成的角，平移法是解決異面直線所成的角的主要方法之一，求空間角的關鍵是正確的作出空間角，再證明此角即為所求角，然后利用解三角形的有關知識求出空間角，此題屬于基礎題，對學生的運算能力與空間想象能力有一定的要求．