Question

如圖所示，圓O的兩弦AB和CD交于點(diǎn)E，EF∥CB，EF交AD的延長線于點(diǎn)F，F(xiàn)G切圓O于點(diǎn)G．
（1）求證：△DFE∽△EFA；
（2）如果EF=1，求FG的長．

Answer 1

分析：（1）由同位角相等得出∠BCE=∠FED，由圓中同弧所對圓周角相等得出∠BAD=∠BCD，結(jié)合公共角∠EFD=∠EFD，證出△DEF∽△EFA；
（2）由（1）得EF²=FA•FD，再由圓的切線長定理FG²=FD•FA，所以FG=EF=1．

解答：證明：（1）∵EF∥CB∴∠DEF=∠DCB．
∴∠DEF=∠DAB，∴∠DEF=∠DAB．
又∵∠DFE=∠EFA∴△DFE∽△EFA…（4分）
（2）解∵△DFE∽△EFA，
∴

EF

FA

=

FD

EF

．∴EF²=FA•FD．
又∵FG切圓于G，
∴GF²=FA•FD．
∴EF²=FG²．∴EF=FG．
已知EF=1，
∴FG=1…（8分）

點(diǎn)評：本題考查與圓有關(guān)的角、比例線段，要善于尋找有關(guān)線段的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合相關(guān)性質(zhì)、定理求解．