Question

已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱AB=BC=3，BB₁=，連B₁C，過點B作B₁C的垂線，垂足為E且交CC₁于F．
（Ⅰ）求證：A₁C⊥BF；
（Ⅱ）求證：AC₁∥平面BDF；
（Ⅲ）求二面角F-BD-C的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）要證A₁C⊥BF，只需證明BF垂直A₁C在面BC₁內的射影B₁C即可；
（Ⅱ）連接AC交BD于O，則O為AC中點，連接OF，要證AC₁∥平面BDF，只需證明AC₁平行平面BDF內的直線OF即可，（利用數據計算出F為為C₁C的中點）；
（Ⅲ）說明∠FOC為二面角F-BD-C的平面角，解Rt△ABC求二面角F-BD-C的大小．
解答：證明：（I）在長方體中，A₁B₁⊥面BC₁，
B₁C為A₁C在面BC₁內的射影，
BF?面BC₁，
且BF⊥B₁C，∴A₁C⊥BF．（3分）
證明（II）∵AB=BC=3，BB₁=3，
在Rt△B₁BC中，B₁C=3，∵BF⊥B₁C于E，∴BC²=CE•CB₁，得CE=，
由△BB₁E∽△FCE得，即F為C₁C的中點．（7分）
連接AC交BD于O，則O為AC中點，連接OF，則OF∥AC₁，∵AC₁?面BDF，OF?面BDF，∴AC₁∥平面BDF．（9分）
解（III）在長方體中，C₁C⊥面AC，OC為OF在面AC上的射影，BD?面AC，且BD⊥AC，∴BD⊥OF，
∴∠FOC為二面角F-BD-C的平面角．（11分）
在Rt△ABC中，OC=，∴OC=CF，∴∠FOC=45°
∴二面角F-BD-C的大小為45°（13分）
點評：本題考查直線與平面平行的判定，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．