Question

某公司一年生產某種產品m件，并且分若干批生產（每批生產產品件數相同），已知每生產一批產品需用原料費15000萬元，每批生產需直接消耗的管理等費用S與該批生產產品的件數x的立方成正比，當生產的一批產品為5件時，S=1000萬元．
（Ⅰ）求S關于x的函數表達式
（Ⅱ）每批生產產品多少件時，一年生產的總費用最低（精確到1件，

3

7.5

≈）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由條件：每批生產需直接消耗的管理等費用S與該批生產產品的件數x的立方成正比，當生產的一批產品為5件時，S=1000萬元，則可求．
（Ⅱ）首先構建函數y=

15000m

x

+8mx2，再利用基本不等式可求．

解答：解：（Ⅰ）設批生產需直接消耗管理費為S萬元，每批生產x件產品，則S=kx³，當x=5時，S=1000，∴解析式為S=8x³
（Ⅱ）設一年生產的總費用為y元，每批生產x件，m件產品分

112

x

批生產，則y=

15000m

x

+8mx2=m(

15000

x

+8x2)≥3

3	75002×8

，
當且僅當

7500

x

=8x2，即x≈10時，有最小值．故每批生產10件時，總費用最低．

點評：本題主要考查函數模型的建立，考查利用基本不等式求函數的最值，應注意其使用條件．