Question

如果由約束條件

0≤y≤x y≤4-x t≤x≤t+2．(0＜t＜2)

所確定的平面區域的面積為S=f（t），則S的最大值為

3

．

Answer 1

分析：作出題中約束條件所確定的平面區域，得它的形狀是由等腰Rt△OCF，減去等腰Rt△OAB和等腰Rt△DEF而得的一個五邊形．根據題意算出三個等腰直角形的面積，得到該平面區域的面積S=f（t）是關于t的二次函數，根據二次函數的圖象與性質，不難得到S的最大值．

解答：解：作出題中約束條件所確定的平面區域，如右圖陰影部分
則S_△OAB=

1

2

|OA|•|AB|=

1

2

t2，S_△DEF=

1

2

|DE|•|EF|=

1

2

（2-t）²，
∴五邊形ABCDE面積S=S_△OCF-S_△OAB-S_△DEF
=

1

2

×4×2-

1

2

t2-

1

2

（2-t）²=-t²+2t+2
即f（t）=-t²+2t+2，其中0＜t＜2
∵當t=1時，f（t）的最大值為f（1）=3
∴S的最大值為3
故答案為：3

點評：本題在平面直角坐標系中，求區域圖形面積的最大值，著重考查了二元一次不等式組表示的平面區域和二次函數的圖象與性質等知識，屬于中檔題．