Question

設f(x)是定義在[－1，1]上的偶函數，f(x)與g(x)的圖象關于直線x＝1對稱，且當x∈[2，3]時，g(x)＝2a(x－2)－4(x－2)³，

(Ⅰ)求f(x)的表達式；

(Ⅱ)是否存在正實數a，使得f(x)的圖象的最高點在直線y＝12上？若存在，求出正實數a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

熱點分析　　因為[2，3]關于x＝1對稱的區間是[－1，0]，所以應先求出f(x)在區間[－1，0]內的解析式；而問題(Ⅱ)等價于[f(x)]max＝12． 　　解答(Ⅰ)當x∈[－1，0]時，f(x)上的點P(x，y)與g(x)上的點Q(x0，y0)關于直線x＝1對稱， 　　代入g(x)得 　　f(x)＝4x3－2ax(x∈[－1，0])． 　　∵f(x)是[－1，1]上的偶函數，∴當x∈[0，1]時， 　　f(x)＝f(－x)＝4(－x)3－2a(－x)＝－4x3＋2ax； 　　(Ⅱ)命題條件等價于[f(x)]max＝12，因為f(x)為偶函數，所以只需考慮x∈[0，1]的情況． 　　對f(x)求導得(x)＝2(a－6x2)(x∈[0，1]． 　　①當a≤0時，(x)＜0，∴f(x)在[0，1]單調遞減． 　　∴[f(x)]max＝f(0)＝12．無解 　　②當a＞0時，(x)＝12(－x)(＋x) 　　＝0x＝， 　　(i)當0＜≤1，即0＜a≤6時， 　　x＝是定義域內惟一的極大點， 　　∴[f(x)]max＝f()＝12x＝3＞6， 　　不合題意； 　　(ii)當＞1，即a＞6時， 　　(x)＞0，f(x)在[0，1]上遞增， 　　∴[f(x)]max＝f(1)＝12a＝8． 　　綜上，存在a＝8使得f(x)的圖象的最高點在直線y＝12上． 　　評析　　綜合了函數解析式的變換，函數性質及最熱點的函數最值內容，這是常見的函數綜合問題形式，在求最值時由于用求導的方法十分簡單，因此沒有必要考慮初等方法．