Question

已知函數f（x）滿足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，設無窮數列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若a₁=3，從第幾項起，數列{a_n}中的項滿足a_n＜a_n+1；
（3）若1+＜a₁＜（m為常數且m∈N，m≠1），求最小自然數N，使得當n≥N時，總有0＜a_n＜1成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數f（x）滿足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，我們不得得到參數a的值，進而得到函數的表達式；
（2）要判斷從第幾項起，數列{a_n}中的項滿足a_n＜a_n+1我們關鍵是構造a_n+1-a_n的表達式，結合其它已知條件解對應的不等組，即可求解．
（3）總有0＜a_n＜1成立，則數列的每一項，均符合要求，包括首項在內，由1+＜a₁＜，結合數學歸納法，即可求出滿足條件的自然數N．
解答：解：（1）令x=1得2a=1，∴a=．
∴f（x）=．
（2）若a₁=3，由a₂==-1，a₃==，a₄==，
假設當n≥3時，0＜a_n＜1，則0＜a_n+1=＜=1⇒2-a_n＞0．
從而a_n+1-a_n=-a_n=＞0⇒a_n+1＞a_n．
從第2項起，數列{a_n}滿足a_n＜a_n+1．
（3）當1+＜a₁＜時，a₂=，得＜a₂＜．
同理，＜a₃＜．
假設＜a_n-1＜．
由a_n=與歸納假設知＜a_n＜對n∈N^*都成立．
當n=m時，＜a_m，即a_m＞2．
∴a_m+1=＜0．
0＜a_m+2=＜＜1．
由（2）證明知若0＜a_n＜1，則0＜a_n+1=＜=1．
∴N=m+2，使得n≥N時總有0＜a_n＜1成立．
點評：本題（2）中的證明要用到數學歸納法，數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．