Question

已知數列{a_n}有以下的特征：a₁=1，a₁，a₂，…，a₅是公差為1的等差數列；a₅，a₆，…，a₁₀是公差為d的等差數列；a₁₀，a₁₁，…，a₁₅是公差為d²的等差數列；…；a_5n，a_5n+1，a_5n+2，…，a_5n+5是公差為dⁿ的等差數列（n∈N^*），其中d≠0．設數列b_n滿足b_n=a_5n-a_5（n-1）（n≥2），b₁=a₅．
（Ⅰ） 求證數列{b_n}為等比數列；
（Ⅱ） 求數列{b_n}的前n項和S_n；
（Ⅲ） 當d＞-1時，證明對所有正奇數n，總有Sn＞

5

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）、根據已知條件便可求出當n≥2時bn的通項公式，然后求出

bn+1

bn

=d，當n=1時，

b2

b1

=d即可證明數列{b_n}為等比數列；
（Ⅱ）、根據（Ⅰ）中求得的b_n的通項公式即可寫出S_n的表達式，然后分別討論d=1和d≠1時Sn的表達式即可；
（Ⅲ）、根據中求得的S_n的表達式，然后分別證明當b＞0時和-1＜b＜0時對所有正奇數n，Sn＞

5

2

．即可證明當d＞-1時，證明對所有正奇數n，總有Sn＞

5

2

．

解答：解：（Ⅰ）證明：當n≥2時，b_n=a_5n-a_5（n-1）=5d^n-1，
∴

bn+1

bn

=

5dn

5dn-1

=d（d≠0）．　（2分）
又b₁=a₅=a₁+4×1=5，b₂=a₁₀-a₅=5d，
∴

b2

b1

=d，（3分）
∴當n≥2時，

bn

bn-1

=d都成立，
故數列{b_n是以5為首項，d為公比的等比數列．（4分）

（Ⅱ）∵S_n=b₁+b₂+…+b_n=5+5d+5d²+…+5d^n-1
=

5(1-dn) 1-d ，(d≠1) 5n，(d=1)

（7分）

（Ⅲ）當d∈（0，+∞）時，S_n=5+5d+5d²+…+5d^n-1＞5顯然成立（8分）
當d∈（-1，0）時，1＜1-d＜2，又∵n為正奇數，
∴1＜1-dⁿ
故

1-dn

1-d

＞

1

2

，
∴Sn＞

5

2

．　　　（10分）
或當d∈（-1，0）時，又n為正奇數，則1+d＞0＞2dⁿ，所以2-2dⁿ＞1-d＞0．
因此

1-dn

1-d

＞

1

2

，∴Sn＞

5

2

．　　（10分）

點評：本題主要考查了數列的求和以及數列與不等式的結合，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意分類討論思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．