Question

已知F是橢圓C₁：=1的右焦點，點P是橢圓C₁上的動點，點Q是圓C₂：x²+y²=a²上的動點．
（1）試判斷以PF為直徑的圓與圓C₂的位置關系；
（2）在x軸上能否找到一定點M，使得=e （e為橢圓的離心率）？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）取PF的中點記為N，橢圓的左焦點記為F₁，連接ON，則ON為△PFF₁的中位線，所以ON=．又由橢圓的定義可知，PF₁+PF=2a，從而PF₁=2a-PF，故ON===a-．
所以以PF為直徑的圓與圓C₂內切．
（2）設橢圓的半焦距為c，M （x，0），Q （x₀，y₀），F （c，0），
由=e，得QF²=e²QM²，即（x₀-c）²+y₀²=e²[（x₀-x）+y₀²]．
把x₀²+y₀²=a²代入并化簡整理，得2（c-e²x）x₀+e²a²+e²x²-a²-c²=0，
要此方程對任意的Q （x₀，y₀）均成立，只要c-e²x=0即可，
此時x==．所以x軸上存在點M，使得=e，M的坐標為（，0）．
分析：（1）說明圓與圓的位置關系，只需說明其圓心距與半徑之間的關系，由題意易得以PF為直徑的圓與圓C₂內切．
（2）先假設存在，轉化為封閉型命題，從而有2（c-e²x）x₀+e²a²+e²x²-a²-c²=0，要使其恒成立，必然有要c-e²x=0，從而問題得解．
點評：本題主要考查圓與圓的位置關系，考查橢圓的定義，對于存在性命題，通常是假設存在，從而轉化為封閉型命題，以此為條件進行求解．