Question

給出下列命題：
①如果函數f（x）對任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），那么函數f（x）必是偶函數；
②要得到函數y=sin（1-x）的圖象，只要將函數y=sin（-x）的圖象向右平移1個單位即可；
③如果函數f（x）對任意的x₁、x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，那么函數f（x）在R上是增函數；
④函數y=f（x）和函數y=f（x-2）+1的圖象一定不能重合．其中真命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：①如果函數f（x）對任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），那么函數f（x）必是偶函數，由對稱性判斷；
②要得到函數y=sin（1-x）的圖象，只要將函數y=sin（-x）的圖象向右平移1個單位即可，由平移規則進行判斷；
③如果函數f（x）對任意的x₁、x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，那么函數f（x）在R上是增函數，由函數的單調性的定義判斷；
④函數y=f（x）和函數y=f（x-2）+1的圖象一定不能重合，有平移規則判斷．

解答：解：①如果函數f（x）對任意的x∈R，都有f（1+x）=f（1-x），那么函數f（x）必是偶函數，此命題中的條件說明函數關于直線x=1對稱，不能得出偶函數的結論，故錯誤；
②要得到函數y=sin（1-x）的圖象，只要將函數y=sin（-x）的圖象向右平移1個單位即可，由平移規則知，此命題是正確命題；
③如果函數f（x）對任意的x₁、x₂∈R，且x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＞0，那么函數f（x）在R上是增函數，由函數單調性的定義知，此命題是正確命題；
④函數y=f（x）和函數y=f（x-2）+1的圖象一定不能重合，存在一個函數右移兩個單位再產移一個單位可以重合，如y=

1

2

x，故此命題不正確．
綜上，②③是正解命題
故答案為②③

點評：本題考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，求解本題的關鍵是掌握住平移的規則以及函數的對稱性的，函數的單調性的判斷方法，圖象的變化等知識，本題是基礎知識基本概念題，涉及到的知識點較多，判斷時思維轉換快，易出錯．