Question

如果橢圓上存在一點P，使得點P到左準線的距離與它到右焦點的距離相等，那么橢圓的離心率的取值范圍為________．

Answer 1

分析：先利用橢圓的第二定義：到左焦點的距離與到左準線的距離之比為常數(shù)e（離心率），用P到左焦點的距離表示P到左準線的距離，再利用橢圓的第一定義：到兩焦點的距離之和為定值2a，且P到焦點的距離的取值范圍為[a-c，a+c]，列出關于e的不等式即可解得橢圓的離心率的取值范圍
解答：設橢圓左焦點為F₁，右焦點為F₂，|PF₁|=d₁，|PF₂|=d₂，離心率為e
由橢圓第二定義，點P到左準線的距離為，∴=d₂，
又∵d₁+d₂=2a，∴=d₂，即d₂=
∵a-c≤d₂≤a+c
∴a-c≤≤a+c，即1-e≤≤1+e，
又∵0＜e＜1
∴解不等式得-1≤e＜1
故答案為
點評：本題考察了橢圓的兩個定義及兩個定義間的關系，橢圓的標準方程及其幾何意義，解題時重點掌握橢圓的兩個定義