Question

已知函數f（x）=x（x-a）²，g（x）=-x²+（a-1）x+a（其中a為常數）；
（1）如果函數y=f（x）和y=g（x）有相同的極值點，求a的值；
（2）設a＞0，問是否存在，使得f（x）＞g（x），若存在，請求出實數a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別求出y=f（x）和y=g（x）的極值點，根據條件建立等量關系，解方程即可；
（2）假設存在，即存在x∈（-1，），使得f（x）-g（x）＞0，只需研究f（x）-g（x）的符號，討論對稱軸與區間的位置關系即可求出實數a的取值范圍．
解答：解：（1）f（x）=x（x-a）²=x³-2ax²+a²x，
則f′（x）=3x²-4ax+a²=（3x-a）（x-a），
令f′（x）=0，得x=a或，
而g（x）在x=處有極大值，
∴=a⇒a=-1，或=⇒a=3；
綜上：a=3或a=-1．
（2）假設存在，即存在x∈（-1，），
使得f（x）-g（x）=x（x-a）²-[-x²+（a-1）x+a]
=x（x-a）²+（x-a）（x+1）
=（x-a）[x²+（1-a）x+1]＞0，
當x∈（-1，）時，又a＞0，故x-a＜0，
則存在x∈（-1，），使得x²+（1-a）x+1＜0，
1°當＞即a＞3時，得a＞3或，
∴a＞3；
2°當即0＜a≤3時，
得a＜-1或a＞3，
∴a無解；綜上：a＞3．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及函數零點的判定定理，屬于基礎題．