Question

（2012•汕頭一模）已知向量

m

=(-2sin(π-x)，cosx)，

n

=(

3

cosx，2sin(

π

2

-x))，函數f(x)=1-

m

•

n

．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）當x∈[0，π]時，求f（x）的單調遞增區間；
（3）說明f（x）的圖象可以由g（x）=sinx的圖象經過怎樣的變換而得到．

Answer 1

分析：（1）直接利用向量的數量積，通過二倍角公式與兩角差的正弦函數，化簡函數我一個角的一個三角函數的形式，即可求函數f（x）的解析式；
（2）利用正弦函數的單調增區間求出函數的單調增區間與x∈[0，π]取交集，即可求f（x）的單調遞增區間；
法二通過x的范圍，求出2x-

π

6

的范圍，然后利用函數的最值時的2x-

π

6

的值，即可得到單調增區間．
（3）利用左加右減，與伸縮變換的原則，直接說明f（x）的圖象可以由g（x）=sinx的圖象經過變換而得到．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=-2sin(π-x)

3

cosx+2cosxsin(

π

2

-x)
=-2

3

sinxcosx+2cos2x=-

3

sin2x+cos2x+1      2分
∴f（x）=1-

m

•

n

=

3

sin2x-cos2x，…（3分）
∴f（x）=2sin(2x-

π

6

)．…（4分）
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ

(k∈Z)

，
解得-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ

(k∈Z)

，…（6分）
∵取k=0和1且x∈[0，π]，得0≤x≤

π

3

和

5π

6

≤x≤π，
∴f（x）的單調遞增區間為[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]．…（8分）
法二：∵x∈[0，π]，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

11π

6

，
∴由-

π

6

≤2x-

π

6

≤

π

2

和

3π

2

≤2x-

π

6

≤

11π

6

，…（6分）
解得0≤x≤

π

3

和

5π

6

≤x≤π，
∴f（x）的單調遞增區間為[0，

π

3

]和[

5π

6

，π]．…（8分）
（3）g（x）=sinx的圖象可以經過下面三步變換得到f（x）=2sin(2x-

π

6

)的圖象：g（x）=sinx的圖象向右平移

π

6

個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的

1

2

倍（縱坐標不變），最后把所得各點的縱坐標伸長為原來的2倍（橫坐標不變），得到f（x）=2sin(2x-

π

6

)的圖象．…（14分）（每一步變換2分）

點評：本題借助向量的數量積的化簡，求解函數的解析式，考查三角函數的基本性質，函數的圖象的變換．