Question

設拋物線y2=2px(p＞0)被直線y=2x-4截得的弦AB長為3

5

．
（1）求此拋物線的方程；
（2）設直線AB上有一點Q，使得A，Q，B三點到拋物線準線的距離成等差數列，求Q點坐標；
（3）在拋物線上求一點M，使M到Q點距離與M到焦點的距離之和最小．

Answer 1

分析：（1）聯立方程組，得

y2=2px y=2x-4

，整理得：2x²-（8+p）x+8=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x1+x2=

8+p

2

，x1x2=4，
由弦長AB=

(1+4)[( 8+p 2 )2-4×4]

=3

5

，能導出此拋物線的方程．
（2）設Q（x，y），由A，Q，B三點到拋物線準線的距離成等差數列，知x=

x1+y1

2

=

8+2 2

2

=

5

2

，由此能求出Q點坐標．
（3）由M到Q點距離與M到焦點的距離之和最小值是Q到準線的距離，知M點的縱坐標是y=1，由此能求出點M．

解答：解：（1）聯立方程組，得

y2=2px y=2x-4

，整理得：2x²-（8+p）x+8=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=

8+p

2

，x1x2=4，
∴弦長AB=

(1+4)[( 8+p 2 )2-4×4]

=3

5

，
解得p=2或-18（舍），
所以此拋物線的方程：y²=4x．
（2）設Q（x，y），
∵A，Q，B三點到拋物線準線的距離成等差數列，
∴x=

x1+y1

2

=

8+2 2

2

=

5

2

，
∴y=2×

5

2

-4=1，
∴Q(

5

2

，1)．
（3）∵M到Q點距離與M到焦點的距離之和最小值是Q到準線的距離，
∴M點的縱坐標是y=1，
把y=1代入y²=4x，得x=

1

4

，
∴M(

1

4

，1)．

點評：本題考查拋物線方程和點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意等差數列和拋物線性質的靈活運用．