Question

已知向量

a

=（sinθ，1），

b

=（1，cosθ），0＜θ＜π，
（1）若

a

⊥

b

，求θ；
（2）求|

a

+

b

|的范圍．

Answer 1

分析：（1）若

a

⊥

b

，則有

a

•

b

=0，由此求得tanθ=-1，從而根據(jù)θ的范圍求得θ的值．
（2）先求出

a

•

b

的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的模的定義求出

a

•

b

的模等于

3+2 2 sin(θ+ π 4 )

，根據(jù)θ的范圍求出sin（θ+

π

4

）的范圍，從而求得|

a

+

b

|的范圍．

解答：解：（1）若

a

⊥

b

，則有

a

•

b

=sinθ+cosθ=0，由此得tanθ=-1．
∵0＜θ＜π，-------（4分）∴θ=-

3π

4

；---------（5分）
（2）由向量

a

=（sinθ，1），

b

=（1，cosθ），0＜θ＜π，得

a

•

b

=（sinθ+1，1+cosθ），
∴|a+b|=

(sinθ+1)2+(1+cosθ)2

=

3+2(sinθ+cosθ)

=

3+2 2 sin(θ+ π 4 )

．------（8分）
∵

π

4

＜θ+

π

4

＜

5π

4

，∴-

2

2

＜sin（θ+

π

4

）≤1，∴1＜3+2

2

sin（θ+

π

4

）≤3+2

2

，
故|

a

+

b

|的范圍為 （1，3+2

2

]．------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求向量的模的方法，屬于中檔題．