Question

若曲線y=

3-x2

與直線y=x+b有一個公共點，則b的取值范圍是

b=

6

或-

3

≤b≤

3

；若有兩個交點，則b的取值范圍是

3

≤b＜

6

．

Answer 1

分析：將曲線y=

3-x2

平方整理，得它以原點O為圓心，半徑為

3

的圓的上半圓．而直線y=x+b是與y=x平行或重合的一條直線，將直線y=x+b進行平移并觀察兩圖象公共點的個數，則不難得到本題的答案．

解答：解：將曲線y=

3-x2

兩邊平方，得
x²+y²=3，（y≥0）
∴曲線y=

3-x2

表示以原點O為圓心，半徑為

3

的圓的上半圓（含端點）
而直線y=x+b是與y=x平行或重合的一條直線，將直線y=x+b進行平移，得
①當直線y=x+b與半圓相切于點A（-

6

2

，

6

2

），
或直線y=x+b經過y軸上點B（0，

3

）與C（0，-

3

）或線段BC上一點時，
直線與半圓有且僅有一個公共點，此時b=

6

或-

3

≤b≤

3

；
②當直線y=x+b經過點B，或直線y=x+b位于點A、B之間時，
直線與半圓有兩個公共點，此時

3

≤b＜

6

故答案為：b=

6

或-

3

≤b≤

3

，

3

≤b＜

6

點評：本題給出半圓與動直線，要我們探索它們公共點的個數并加以計算，著重考查了曲線方程的化簡、直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．