Question

4．如圖，四邊形OABC是邊長為1的正方形，OD=3，點P為△BCD內（含邊界）的動點，則|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$|的取值范圍為（　　）

• A． [$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，5]
• B． [$\sqrt{2}$，4]
• C． [$\sqrt{2}$，$\sqrt{5}$]
• D． [$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，4]

Answer 1

分析 建立平面直角坐標系，設P（x，y），用x，y表示出|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$|，利用兩點間的距離公式轉化為P點到M（-1，0）點的距離．

解答 解：以O為原點建立空間直角坐標系，如圖所示：
則C（0，1），A（1，0），D（3，0），
設P（x，y），則$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$=（x+1，y），
∴|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{（x+1）^{2}+{y}^{2}}$，
設M（-1，0），則|$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OP}$|=|MP|，
由圖可知當P與C重合時|MP|取得最小值$\sqrt{2}$，
當P與D重合時，|MP|取得最大值4，
∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$|的取值范圍是[$\sqrt{2}$，4]．
故選B．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，線性規劃的應用，屬于中檔題．