Question

已知橢圓的兩個焦點為F₁、F₂，點P在橢圓G上，且PF₁⊥F₁F₂，且，斜率為1的直線l與橢圓G交與A、B兩點，以AB為底邊作等腰三角形，頂點為P（-3，2）．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求△PAB的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的兩個焦點為F₁、F₂，點P在橢圓G上，且PF₁⊥F₁F₂，，知|F₁F₂|=4，即c=2，2a=|PF₁|+|PF₂|=4，由此能求出橢圓G的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m．由得，．設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），AB中點為E（x，y），則，，由此能求出△PAB的面積．
解答：解：（1）∵橢圓的兩個焦點為F₁、F₂，點P在橢圓G上，
且PF₁⊥F₁F₂，且，
∴|F₁F₂|==4，∴c=2，
2a=|PF₁|+|PF₂|=4，∴，
又∵b²=a²-c²=4，
所以橢圓G的方程為．
（2）設(shè)直線l的方程為y=x+m．
由，得．
設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）（x₁＜x₂），
AB中點為E（x，y），
則，，
因為AB是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥AB．
所以PE的斜率．
解得m=2．
此時方程①為．解得x₁=-3，x₂=0．
所以y₁=-1，y₂=2．所以|AB|=．
此時，點P（-3，2）到直線AB：x-y+2=0的距離，
所以△PAB的面積S=．
點評：本題考查橢圓方程和三角形面積的求法，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．