Question

已知函數f（x）=msinx+ncosx，且f(

π

4

)是它的最大值，（其中m、n為常數且mn≠0）給出下列命題：
①f(x+

π

4

)是偶函數；
②函數f（x）的圖象關于點(

7π

4

，0)對稱；
③f(-

3π

4

)是函數f（x）的最小值；
④記函數f（x）的圖象在y軸右側與直線y=

m

2

的交點按橫坐標從小到大依次記為P₁，P₂，P₃，P₄，…，則|P₂P₄|=π
⑤

m

n

=1．
其中真命題的是

 

（寫出所有正確命題的編號）

Answer 1

分析：由題意可得f（x）=

m2 +n2

 sin（x+

π

4

 ），對于①，由于 f(x+

π

4

)=cosx，是偶函數，故①正確．
對于②，由于當x=

7π

4

時，f（x）=0，故②正確．
對于③，由于 f(-

3π

4

)=-

m2 +n2

，是 函數f（x）的最小值，故 ③正確．
對于④，由題意可得，|P₂P₄|等于一個周期2π，故 ④不正確．
對于⑤，由tan∅=tan（2kπ+

π

4

 ）=

n

m

=1，可得⑤正確．

解答：解：由于函數f（x）=msinx+ncosx=

m2 +n2

 sin（x+∅），且f(

π

4

)是它的最大值，
∴

π

4

+∅=2kπ+

π

2

，k∈z，∴∅=2kπ+

π

4

，∴tan∅=

n

m

=1．
∴f（x）=

m2 +n2

 sin（x+2kπ+

π

4

）=

m2 +n2

 sin（x+

π

4

 ）．
對于①，由于 f(x+

π

4

)=

m2 +n2

 sin（x+

π

4

+

π

4

 ）=cosx，是偶函數，故①正確．
對于②，由于當x=

7π

4

時，f（x）=0，故函數f（x）的圖象關于點(

7π

4

，0)對稱，故②正確．
對于③，由于  f(-

3π

4

)=

m2 +n2

 sin（-

π

2

 ）=-

m2 +n2

，是 函數f（x）的最小值，故 ③正確．
對于④，函數f（x）的圖象即把函數 y=

m2 +n2

sinx的圖象向左平移

π

4

 個單位得到的，故|P₂P₄|等于
一個周期2π，故 ④不正確．
對于⑤，由tan∅=

n

m

=1，可得⑤正確．
 故答案為：①②③⑤．

點評：本題考查兩角和正弦公式，正弦函數的最值，對稱性，奇偶性，函數圖象的變換，得到 f（x）=

m2 +n2

 sin（x+

π

4

 ），是解題的關鍵．