Question

已知函數f（x）=x²+alnx．
（1）當a=-2e時，求函數f（x）的單調區間和極值．
（2）若函數g(x)=f(x)+

2

x

在[1，4]上是減函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）a=-2e時，f′（x）=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

，利用x變化時，f'（x），f（x）的變化情況可求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）由g（x）=x²+alnx+

2

x

，得g′（x）=2x+

a

x

-

2

x2

，由g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，可得a≤

2

x

-2x²在[1，4]上恒成立．構造函數φ（x）=

2

x

-2x²，求其最小值即可．

解答：解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞）．
當a=-2e時，f′（x）=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

（2分），
當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下：

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

∴f（x）的單調遞減區間是（0，

e

）；單調遞增區間是（

e

，+∞）．
極小值是f（

e

）=0．（6分）
（2）由g（x）=x²+alnx+

2

x

，得g′（x）=2x+

a

x

-

2

x2

（8分）
又函數g（x）=x²+alnx+

2

x

為[1，4]上的單調減函數．
則g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，
所以不等式2x+

a

x

-

2

x2

≤0在[1，4]上恒成立，
即a≤

2

x

-2x²在[1，4]上恒成立．     （10分）
設φ（x）=

2

x

-2x²，顯然?（x）在[1，4]上為減函數，
所以?（x）的最小值為?（4）=-

63

2

．
∴a的取值范圍是a≤-

63

2

．（12分）

點評：本題考查利用倒數研究函數的單調性，著重考查函數在某點取得極值的條件，考查閉區間上的恒成立問題，突出轉化思想與構造函數的思想的運用，屬于難題．